Интерполяция изображений посредством оптимизированных преобразований цвета

2) Методы статистической оптимизации. Как мы можем видеть из вышесказанного, основной метод использует разности R – G и B – G на 2-м и 4-м шагах. Этот выбор достаточно произволен, и мы можем рассмотреть другие комбинации цветов такие, что цветовые компоненты менее коррелированны. Преобразование цвета может быть выбрано таким, чтобы оптимально достичь желаемых свойств [14, 15]. Так как большая часть пикселей исходного изображения отсутствует, применять преобразование цвета в самом начале алгоритма сложно. Но после восстановления зелёного это становится вполне возможным. Поэтому на 2-м и 4-м шагах предлагается следующее обобщение:

(2)

для некоторых констант a₁, a₂, d₁, d₂. Заметим, что B не содержится в С₂, а R не содержится в С₃, потому что R и B известны для совершенно разных позиций пикселей ПЗС-изображения. Мы рассмотрим несколько возможностей выбора коэффициентов a и d.

Минимальные дисперсии C₂ и C₃
Идея состоит в поиске а₁, а₂ и d₁, d₂, минимизирующих дисперсии С₂ и С₃ соответственно. Очевидно, если дисперсия С₂ становится равной нулю, то алгоритм не внесёт ошибки в вычисление красной компоненты. Аналогично для С₃ и синей компоненты. Для того чтобы исключить тривиальный случай с нулевыми коэффициентами, следует ввести ограничение, которое будет гарантировать равенство L1- или L2-норм коэффициентов нулю, т. е.

(3)

Формулы для дисперсий следующие:

Эти дисперсии минимизированы одним из ограничений (3). Здесь var() и cov() означают дисперсию и ковариацию соответственно. Нахождение коэффициентов а₁ и а₂ при ограничении по L1-норме сводится к подстановке известных значений в формулу

Формулы для d₁ и d₂ такие же, при этом R везде заменяется на B.

2.2 Минимальные ковариации С₂ и С₃ Нам нужно найти значения а₁, а₂ и d₁, d₂, минимизирующие ковариации С₂ и С₃, определённые выражением

Можно наложить те же ограничения. При ограничении по L1-норме значения а₁ и а₂ вычисляются так:

Оправданность оптимизации похожа на ситуацию использования преобразований цвета в сжатии изображений: концентрация большей части энергии С₂ и С₃ в одном из преобразований снижает погрешность восстановления цвета.

Ортогонализация Грама-Шмидта
Идея декорреляции может быть рассмотрена как ортогонализация с помощью векторного произведения

Для такой ортогонализации применим процесс Грама-Шмидта. Проблема заключается в том, что если мы начнём процесс со значений С₂ и С₃ для некоторых а₁ и d₁, не равных нулю, то в результате мы получим линейные комбинации, в которых присутствуют R и В. В качестве альтернативы рассмотрим отдельно ортогонализацию R, G и B, G. Начнём процесс с G и проекции R на G, аналогично для B и G. Возьмём эти 2 вектора в качестве С₂ и С₃, т. е. при ограничении по норме L1

Заметим, что при

нельзя ожидать, что

при выбранных коэффициентах, но С₂ и С₃ обычно становятся декоррелированными, т. к

Примечательно, что процесс Грама-Шмидта решает ещё две проблемы, о которых сказано ниже.

Минимизация ковариации

Рассмотрим упрощённый выбор

Получаем

Минимизируя (10), находим α и β:

Получаем фактически (8) с точностью до масштабирующего параметра.

Минимизация корреляции

Рассмотрим корреляцию

, определённую как

Выражение для Cov(C₂, C₃) дано в (10), а дисперсии определены как

Можно показать, что решение этой задачи такое же, как в (11).

Оптимальная гладкость С₂ и С₃. Причина, по которой во многих алгоритмах используется разность R – G и B – G заключается в том, что разности – это по большей части низкочастотные сигналы [7]. Это значит, что разности гладкие или имеют небольшие градиенты в пространственной области. Более того, этот факт может быть использован для оценки значений отсутствующих пикселей с использованием, например, билинейной интерполяции разностей [7, 8, 9]. Ниже предложены методы, позволяющие наложить гладкость на С₂ и С₃.

1 2 3

<< Назад Вперед >>